В этой статье
Подобие треугольников часто узнают не по внешнему виду рисунка, а по данным в условии. Один треугольник может быть больше другого, повернут или изображён неудачно — это не мешает им быть подобными. Важно проверить, совпадают ли соответствующие углы и сохраняется ли одно и то же отношение между соответствующими сторонами.
Что значит «треугольники подобны»
Подобными называют треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствующими, или сходственными, называют элементы, которые занимают одинаковое положение в двух фигурах. Такое определение и три признака подобия разобраны в материалах InternetUrok, а первый признак отдельно объяснён в учебном материале «Ростелеком Лицей».
Например, если вершина A соответствует вершине A₁, B — B₁, а C — C₁, то записывают так:
△ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Тогда выполняются равенства углов и пропорция
AB / A₁B₁=BC / B₁C₁=AC / A₁C₁.
Общее отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия. Но в задаче не всегда нужно проверять все условия. Достаточно обнаружить один из трёх признаков подобия.
Первый признак: по двум углам
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны.
Например, пусть ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁. Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны. Третий угол отдельно искать не нужно: сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому оставшиеся углы тоже окажутся равными.
Как распознать этот признак в условии:
- даны две пары равных углов;
- или углы можно быстро приравнять по параллельности, вертикальности или другим известным свойствам;
- о сторонах ничего вычислять не требуется.
Полезная привычка — сначала посмотреть именно на углы. Если две пары уже найдены, пропорции сторон проверять излишне.
Второй признак: по двум сторонам и углу между ними
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум соответствующим сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники подобны. Эта формулировка входит в разбор признаков InternetUrok.
Здесь важна именно фраза «угол между сторонами». Допустим, установлено, что
AB / A₁B₁=AC / A₁C₁
и ∠A = ∠A₁. Угол A образован сторонами AB и AC, а угол A₁ — сторонами A₁B₁ и A₁C₁. Значит, выполнен второй признак, и треугольники подобны.
Как не ошибиться: равенство любого угла рядом с двумя пропорциональными сторонами ещё не подходит. Он должен быть заключён между этими сторонами. Если пропорциональны AB и AC, проверяем угол A, а не угол B или C.
Третий признак: по трём сторонам
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём соответствующим сторонам другого, треугольники подобны.
Например, для треугольников ABC и A₁B₁C₁ достаточно получить
AB / A₁B₁=BC / B₁C₁=AC / A₁C₁.
Именно этот случай также указан среди трёх признаков в учебном материале InternetUrok. Тогда все три пары соответствующих сторон имеют один коэффициент подобия. Углы можно не находить: подобие уже следует из условия.
Перед записью пропорций нужно правильно сопоставить стороны. Сторона AB лежит напротив угла C, поэтому на рисунке полезно ориентироваться не только на длину, но и на положение сторон относительно соответствующих вершин. Если перепутать соответствующие стороны, равенства могут не получиться даже у подобных треугольников.
Как быстро выбрать признак в задаче
Сначала выпишите, что известно, не пытаясь сразу решать задачу.
- Видите две пары равных углов — применяйте первый признак.
- Видите две пары пропорциональных сторон — ищите равные углы между ними. Если такой угол есть, подходит второй признак.
- Видите длины всех трёх сторон обоих треугольников — сравните три отношения. Если они равны, подходит третий признак.
Иногда условие позволяет использовать больше одного признака. Например, после нахождения двух равных углов можно было бы получить пропорции сторон, но это не делает решение лучше. Выбирайте тот признак, для которого данные уже почти собраны.
| Что дано в условии | Какой признак проверить |
|---|---|
| Две пары равных углов | Первый, по двум углам |
| Две пропорциональные пары сторон и равные углы между ними | Второй, по двум сторонам и углу между ними |
| Три пропорциональные пары сторон | Третий, по трём сторонам |
Короткий пример распознавания
Пусть в двух треугольниках известно:
AB / A₁B₁=AC / A₁C₁=2, ∠A=∠A₁.
Здесь пропорциональны две стороны, а равные углы находятся между ними. Значит, это второй признак подобия. Число 2 заодно показывает коэффициент подобия: соответствующие стороны первого треугольника в два раза больше соответствующих сторон второго.
Если же в условии написано ∠B = ∠B₁, а пропорции относятся к AB и AC, нужно остановиться. Угол B не является углом между сторонами AB и AC, поэтому автоматически применить второй признак нельзя. Возможно, в задаче есть другие данные, но их нужно найти отдельно.
Не смешивайте признаки подобия с признаками равенства треугольников. При равенстве фигуры совпадают по размеру, а при подобии могут отличаться масштабом. Поэтому для подобия достаточно равенства двух углов или пропорциональности сторон — не обязательно доказывать, что все стороны равны.
После решения учебного вопроса отдельная практическая задача может возникнуть у тех, кому нужен доступ к ChatGPT. В таком случае можно посмотреть каталог услуг Amber Market: выберите подходящее предложение, проверьте его условия и итоговую сумму, подтвердите email и отслеживайте статус заказа. Доступ оформляется через посредника; конкретные условия лучше сверить в карточке товара перед заказом.
Итак, памятка проста: две пары углов — первый признак; две пары пропорциональных сторон плюс угол между ними — второй; три пары пропорциональных сторон — третий. Сначала ищите в условии именно такую комбинацию данных, и только потом выбирайте формулу или начинайте вычисления.